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観測パラメータの決定

パラメータ決定と感度見積もり

観測パラメータの決定と感度の見積もりは以下のように行います。本文中に登場する変数については「はじめに」の図1-1も適宜ご参照ください。

＃式の導出は「いろいろな情報」にあるので興味のある方はどうぞ。

まず以下のパラメータを設定します。

観測領域の広さを l₁ ["] $\times$ l₂ ["] （スキャン方向にl₁、垂直方向にl₂）とします。 BEARSを使用する際には、25ビームが重なる領域はおよそ (l₁ - 160) ["] $\times$ (l₂ - 160) ["] となることにご注意ください。
1スキャン（on-source）にかかる時間を t_scan [s] とします。このとき、天球上におけるスキャン速度は v_scan ["/s] = l₁/t_scan と書けます。分光計のデータダンプ時間をt_dump [s] とします。
- t_dump秒間にアンテナが移動する距離（t_dump v_scan ["]）がビーム幅の1/3ないし1/4を超えないようにしてください。 t_dumpはデフォルトでは0.1秒ですが、 v_scanが小さい場合にはより長くしてデータ量を減らすことができます。
- パラメータの選び方に関するヒントも参照。
OFF点1回あたりのスキャン本数をN_scan^SEQ、スキャン列どうしの間隔を l ["]、作成するマップのグリッドサイズを d ["] d ["] とします。 BEARSの場合、アレイを角度傾けて、隣りあうビームどうしがlだけ離れたスキャンを行うようにすることを推奨しています（前節の図1-1を参照）。すなわち、 = sin^-1(l/41.1) （41.1 ["] はBEARSのビーム間隔）とします。このとき、スキャンの回数N_rowはシングルビーム受信機の場合 N_row = l₂/ l +1、BEARSの場合 N_row = l₂/(5 l) +1と書けます。
- ${\mit\Delta}$ lはビーム幅の1/3程度、dはビーム幅の1/3から1/2程度にします。
- パラメータの選び方に関するヒントも参照。

これらの値を使って、以下の手順でパラメータの決定と感度見積もりを行います。ツール(otf45.c/otf45.pl)でも計算できます。

スキャン1本あたりのオーバーヘッド t_OH [s] は OFF点への往復時間 2 $\times$ t_tran^OFF [s]、助走時間t_app [s]、および助走開始点への移動時間t_tran [s] からなり、
$t_{\rm OH} = \frac{2t_{\rm tran}^{\rm OFF}}{N_{\rm scan}^{\rm SEQ}} + t_{\rm app} + \frac{N_{\rm scan}^{\rm SEQ}-1}{N_{\rm scan}^{\rm SEQ}} t_{\rm tran}$
と表されます。 t_tran^OFFは、 OFF点までの距離d_OFF [arcmin]を用いて、経験則 t_tran^OFF = ceil( 4.4 $\times$ d_OFF^0.26 ) で表されます。一方、t_app、 t_tranは高度角Elにおけるアンテナの最大駆動速度 (v_scan + 15cos(Dec) ["/s]) / cos(El) から、図2-1の関係を用いて求められます。
OFF点積分時間 t_OFF [s] を
$t_{\rm OFF} = \sqrt{\left(t_{\rm scan}+t_{\rm OH} \right) \frac{\eta N_{\rm scan}^{\rm SEQ} d t_{\rm scan}}{l_1}}$
によって決定します。ただし $\eta$ =4.3 です（convolution関数の種別およびパラメータにより異なります。デフォルトのパラメータの場合、Bessel×Gaussで4.3、Sinc×Gaussで1.2、Gaussで6.3、Pillboxで1.0、Spheroidalで10.2 となります。詳細はその他の情報：観測パラメータと達成感度の導出をご参照ください）。
OFF点、望遠鏡の移動時間などを含めたこのテーブルの総観測時間は

となります。ただしf_calはR-SKYキャリブレーション取得のオーバーヘッドです（15分に1回、1分間かけてR-SKYを取得すると、f_cal=16/15）。
- t_OBStotがポインティング観測を行うべき時間間隔を超えてしまった場合は、複数の観測テーブルに分割するなどして実行時間を短くする必要があります。
総on-sourceスキャン時間（観測時間のうちon-source積分を行っている時間）は以下で表されます：
$t_{\rm ONtot} = N_{\rm row}t_{\rm scan}$
1グリッドあたりの実効的なON点, OFF点積分時間はそれぞれ
$t_{\rm cell}^{\rm ON} = \frac{\eta t_{\rm scan} d^2}{l_1 {\mit\Delta}l} \mbox{ (single-beam), } \frac{5\eta t_{\rm scan} d^2}{l_1 {\mit\Delta}l} \mbox{ (BEARS)}$
$t_{\rm cell}^{\rm OFF} = t_{\rm OFF} \cdot \frac{d}{{\mit\Delta}l} \mbox{ (single-beam), } 5t_{\rm OFF} \cdot \frac{d}{{\mit\Delta}l} \mbox{ (BEARS)}$
と表されます。
得られるマップのrms雑音温度は、システム雑音温度をT_sys [K]、マップの周波数分解能をB [Hz]として
${\mit\Delta}T_{\rm A}^* = \frac{T_{\rm sys}}{\eta_{\rm q}\sqrt{B}}\sqrt{\frac{1}{t_{\rm cell}^{\rm ON}}+\frac{1}{t_{\rm cell}^{\rm OFF}}}$
で見積もられます。ここで $\eta$ _qは分光計の量子化効率で、現行のデジタル分光計(AC)では0.88です。

Fig. 2-1: Effective beam after convolution
図2-1：アンテナ駆動速度に対して必要な助走時間t_app、移動時間t_tranの実測値。

通常のposition switch ("step-and-integrate")観測と比較して、OTF観測では

dead timeが少なくなるとともに、OFF点積分時間が相対的に短くてすむ（t_OFF < t_scan）ために全観測時間に占めるON点積分時間の割合 $\eta$ _ON/OBS = t_ONtot/t_OBStotが向上すること
一般にt_cell^ON < t_cell^OFFであるため、 ${\mit\Delta}$ T_A^* が ${\mit\Delta}$ T_A^*(ON) に近づくこと（position switch観測では ${\mit\Delta}$ T_A^* $\simeq$ $\sqrt{2}$ ${\mit\Delta}$ T_A^*(ON)）

の2点によって観測効率の向上が見込まれます（その他の情報: FAQを参照）。 dead time → 0, t_scan → 大の極限において、観測時間にして最大4倍の効率向上が（計算上は）可能です。

パラメータの選び方に関するヒント

t_scanが長いほど（v_scanが小さいほど） nominalな観測効率は向上します。 t_scanの上限は、おもに
- OFF点とOFF点との時間間隔が開くにつれてデータが劣化する（ベースラインがうねる）こと
- マップ全面を掃くのに時間がかかりすぎると、 OTFの利点の一つである「マップの均質性」が保てなくなること
の2点によってリミットされます。 OFF点とOFF点との間隔をどこまで伸ばせるかは未検証ですが、少なくとも通常のposition switch観測と同程度にはできると考えられます。
一方、スキャン方向に十分密なサンプルをとれるという条件でt_scanの下限が決まります。 Nyquistサンプルをすることが最低限必要ですが、 beam smearingを防ぐためにビームの1/3－1/4以上の割合でサンプルする（すなわちv_scan ["/s] $\times$ 0.1 [s] < (1/3－1/4) HPBW ["]）ことが望まれます。
スキャン列どうしの間隔 ${\mit\Delta}$ lは、 Nyquist間隔より小さく取る必要があります。アンテナ駆動のぶれなどを考慮して、ややオーバーサンプルする（HPBWの1/3程度）ことが望ましいです。グリッド間隔dと同じか、より小さくすることを推奨します。
一方向のスキャンのみではscanning effectが残ることがあります。直交する2方向のスキャンを取得し、後からbasket-weaving処理することにより改善されます。リダクションソフトにはEmerson & Gräve (1988)の手法（PLAIT）を実装しています。データリダクションの項目をご参照ください。 [どうしても一方向のスキャンしかできなかった場合のために、 Sofue & Reich (1979)のPRESSアルゴリズムも実装してあります。]

計算例

BEARSを使用し、 l₁=l₂=1200 ["]、最大El=60 [deg]、 t_scan=40 [s]、 l=5 ["]、 d=6 ["]、 d_OFF=40 [']、 T_sys(SSB)=500 [K]、 B=100 [kHz]、 convolution関数をBessel×Gaussとすると

% perl otf45.pl
### OTF sensitivity estimation for 45-m ###
Single-beam RX or BEARS?            [0=single; 1=BEARS]: 1
Maximum Elevation                              El [deg]: 60
length of mapping area (along the scans)    l1 [arcsec]: 1200
length of mapping area (perp. to the scans) l2 [arcsec]: 1200
time for scan                                 tscan [s]: 40
number of ONs per OFF                        Nscan(SEQ): 1
separation between scans              (delta)l [arcsec]: 5
map grid                                     d [arcsec]: 6  
OFF-point separation                      dOFF [arcmin]: 40
system noise temperature                       Tsys [K]: 500
resolution bandwidth                            B [kHz]: 100
convolution function    [0:B*G; 1:S*G; 2:G; 3:PB; 4:SF]: 0
----------------------------------------------------------------
theta=6.99[deg]
25-beam overlap area=1016.8["]x1016.8["]
vscan is 30.0["/sec] (3.0" per 0.1s sample)
Nrow=49
tapp=6[s], ttran=6[s], ttranoff=12[s]
tOFF=7.8[s] -> 8[s]
tOH=30.0[s]
ttot(ON)=32.7[min]
ttot(OBS)=67.9[min]
eta(ON/OBS)=0.48
tcell(ON)=5.27[s]
tcell(OFF)=48.00[s]
dTa*=0.82[K]

で、最適OFF積分時間は8秒、約70分の観測で T_A^*=0.82 [K] が達成されます。 BEARSの傾き角は7度（＋マップのポジションアングル）、 25ビームが重なる領域は約1020秒四方です。実効空間分解能は約17"となります（望遠鏡のビームが15"の場合）。実効空間分解能についてはその他の情報: マップ作成時のconvolutionを参照してください。

＃入力パラメータを順に書いたファイル（サンプル）を用意しておいて otf45.pl < otf45_input.txt のようにリダイレクトしてやると再計算が楽です。ご参考まで。

2008-06-01 nro45mrt @ NRO